Question

設函數，g（x）=（a+2）x+5-3a．
（1）求函數f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域；
（2）若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求實數a的取值范圍．．

Answer 1

解：（1）∵，
設0≤x₁≤x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=
=，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[0，1]上是增函數，
∴f（x）_min=f（0）=0，
f（x）_max=f（1）=1，
故函數f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域為[0，1]．
（2）∵g（x）=（a+2）x+5-3a，
記f（x），g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域分別是A，B，
由題意知A⊆B，
由（1）知，A=[0，1]，
當a＞-2時，B=[g（0），g（1）]=[5-3a，7-2a]，
則，解得；
當a=2時，B={11}，不合題意．
當a＜-2時，B=[g（1），g（0）]=[7-2a，5-3a]，則，無解．
綜上所述，a的取值范圍是[，3]．
分析：（1）設0≤x₁≤x₂≤1，用定義證明f（x）在[0，1]上是增函數，由此能求出函數f（x）在區(qū)間[0，1]上的值域．
（2）記f（x），g（x）在區(qū)間[0，1]上的值域分別是A，B，由題意知A⊆B，根據實數a+2的取值進行分類討論，能求出a的取值范圍．
點評：本題考查函數的值域的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的應用，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．