Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-a（x-1），x∈R，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若實(shí)數(shù)a＞0，求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的極值．
（2）記函數(shù)g（x）f（2x），設(shè)函數(shù)y=g（x）的圖象C與y軸交于P點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為S（a），當(dāng)a＞1時(shí)，求S（a）的最小值；
（3）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，不等式f（x）+f′（x）+x³-2x²≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a進(jìn)行討論，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)a的不同取值得出的結(jié)論綜合即可；
（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），計(jì)算出切線斜率，寫出切線方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），求得在坐標(biāo)軸上的截距，利用三角形的面積公式得到面積S（a）的表達(dá)式，最后利用基本不等式求此函數(shù)的最小值即可；
（3）利用分離參數(shù)法，借助于求函數(shù)的最值，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：：（1）由f'（x）=e^x-a=0，得x=lna．
①當(dāng)a∈（0，1]時(shí)，f'（x）=e^x-a＞1-a≥0（x＞0）．此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．函數(shù)無極值．
②當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，lna＞0．
x變化時(shí)f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	=
f（x）	單減	極小值	單增

由此可得，函數(shù)有極小值且f（x）_極小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．
（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），g（0）=1+a
切線斜率為k=g'（0）=2-2a，切線方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），
由x=0，y=1+a，由y=0，x=

a+1

2(a-1)

∴S（a）=

1

2

×(a+1)×

a+1

2(a-1)

=

1

4

[（a-1）+

4

a-1

+4]≥2
當(dāng)且僅當(dāng)（a-1）²=4，即a=3時(shí)取等號(hào)．∴當(dāng)a=3時(shí)，S（a）最小值為2．
（3）由已知不等式即為：2e^x+x³-2x²≥ax，
∴a≤

2ex

x

+x2-2x
令u（x）=

2ex

x

+x2-2x，則u′（x）=

2(x-1)(ex+2)

x2

∴x∈（0，1）時(shí)，u′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，u′（x）＞0
∴u（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴x=1時(shí)，u（x）的最小值為2e-1
∴a≤2e-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查基本不等式的運(yùn)用，考查分離參數(shù)法．解答關(guān)鍵是要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，做題時(shí)要注意對(duì)a進(jìn)行討論，最后得出函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間．