Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝ x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當m≥0時，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ ，
當m≤0時，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)，無單調(diào)減區(qū)間；
當m＞0時， f′(x)＝ ；
當0＜x＜ 時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x＞ 時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
綜上，當m≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)，無單調(diào)減區(qū)間；當m＞0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是( ，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間是(0， )．
（2）解：令F(x)＝f(x)－g(x)＝－ x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0，問題等價于求函數(shù)F(x)的零點個數(shù)，
當m＝0時，F(xiàn)(x)＝－ x2＋x，x＞0，有唯一零點；
當m＞0時，F(xiàn)′(x)＝－ ，
當m＝1時，F(xiàn)′(x)≤0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，注意到F(1)＝ ＞0，F(xiàn)(4)＝－ln 4＜0，所以F(x)有唯一零點；
當m＞1時，由F′(x)＜0得0＜x＜1或x＞m，由F′(x)＞0得1＜x＜m，所以函數(shù)F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，注意到F(1)＝m＋ ＞0，
F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，
所以F(x)有唯一零點；
當0＜m＜1時，0＜x＜m或x＞1時，由F′(x)＜0得，0＜x＜m或x＞1，
由F′(x)＞0得m＜x＜1，
所以函數(shù)F(x)在(0，m)和(1，＋∞)單調(diào)遞減，在(m，1)單調(diào)遞增，又ln m＜0，
所以F(m)＝ (m＋1－2ln m)＞0，
而F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零點．
綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點，即當m≥0時函數(shù)f(x)與g(x)圖象總有一個交點．
【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），問題等價于求F（x）的零點個數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及m的范圍，求出即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．