已知橢圓C:+=1(a>b>0),直線y=x+與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切,F(xiàn)1,F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn),P為橢圓C上任一點(diǎn),△F1PF2的重心為G,內(nèi)心為I,且IG∥F1F2。⑴求橢圓C的方程。⑵若直線L:y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A,B且線段AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)C(,0)求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

 

 

【答案】

 

解:⑴設(shè)P(x0,y0),x0±a,則G(,) ∵IG∥F1F∴Iy=  |F1F2|=2c

∴S△F1PF2=·|F1F2|·|y0|=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|) · ||   ……………………(4分) 

∴2c·3=2a+2c  ∴e== 又∵b=  ∴b=  ∴a=2∴橢圓C的方程為+=1(6分)

⑵設(shè)A(x1, y1)、B(x2, y2  ,消去y  (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0

∴△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即m2<4k2+3又∵x1+x2=-,則y1+y2=

∴線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-, )                     …………(8分)   

又線段AB的垂直平分線l′的方程為y= (x-)                      …………(9分)

點(diǎn)P在直線l′上,=- (-)                    …………(10分)

∴4k2+6km+3=0  ∴m=-(4k2+3)  ∴<4k2+3,  ∴k2  

∴k>或k>-  ∴k的取值范圍是(-∞,-)∪(,+∞)   …………(13分)

 

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.
C.
D.

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(Ⅰ)求橢圓C的離心率;

(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點(diǎn),那么OQ⊥OQ”成立.

 

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已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,且在x軸上的頂點(diǎn)分別為

(1)求橢圓方程;

(2)若直線軸交于點(diǎn)T,P為上異于T的任一點(diǎn),直線分別與橢圓交于M、N兩點(diǎn),試問直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)?并證明你的結(jié)論.

 

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(本題滿分14分)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,短軸一

 

個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)P引圓O:的兩條切線PA、PB,A、B分別為切點(diǎn),試探究橢圓C上是否存在點(diǎn)P,由點(diǎn)P向圓O所引的兩條切線互相垂直?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

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