如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F、F,A是橢圓C上的一點(diǎn),AF⊥FF,O是坐標(biāo)原點(diǎn),OB垂直AF于B,且OF=3OB.

(Ⅰ)求橢圓C的離心率;

(Ⅱ)求t∈(0,b),使得命題“設(shè)圓x+y=t上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線交橢圓C于Q、Q兩點(diǎn),那么OQ⊥OQ”成立.

 

【答案】

(1)橢圓C的離心率為. (2)t=b∈(0,b)使得所述命題成

【解析】

試題分析:解:(Ⅰ)解法一:由題設(shè)AF⊥FF及F(-c,0),F(xiàn)(c,0),不妨設(shè)點(diǎn)A(c,y),其中y>0,由于點(diǎn)A在橢圓上,有+=1,

+=1,解得y=,從而得到A.              1分

直線AF的方程為y=(x+c),整理得bx-2acy+bc=0.     2分

由題設(shè),原點(diǎn)O到直線AF的距離為|OF|,即=,   3分

將c=a-b代入原式并化簡(jiǎn)得a=2b,即a=b.

∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分

解法二:點(diǎn)A的坐標(biāo)為.                               1分

過(guò)點(diǎn)O作OB⊥AF,垂足為B,易知△FBC∽△FFA,

=.                                           2分

由橢圓定義得|AF|+|AF|=2a,又|BO|=|OF|,

所以=.                                   3分

解得|FA|=,而|FA|=,得=.                    

∴e==.即橢圓C的離心率為.                 4分

(Ⅱ)圓x+y=t上的任意點(diǎn)M(x,y)處的切線方程為xx+yy=t. 5分

當(dāng)t∈(0,b)時(shí),圓x+y=t上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi),故此圓在點(diǎn)A處的切線必交橢圓于兩個(gè)不同的點(diǎn)Q、Q,因此點(diǎn)Q(x,y),Q(x,y)的坐標(biāo)是方程組

的解.                                        6分

(1)當(dāng)y0時(shí),由①式得y=.代入②式,得x+2=2b,

即(2x+y)x-4txx+2t-2by=0.                        7分

于是x+x=,xx=

yy=·=

==.

若QQ⊥QQ,則xx+ yy=+==0.

所以,3t-2b(x+y)=0.                               8分

在區(qū)間(0,b)內(nèi),此方程的解為t=b.              9分

(2)當(dāng)y=0時(shí),必有x0,

同理求得在區(qū)間(0,b)內(nèi)的解為t=b.              10分

另一方面,當(dāng)t=b時(shí),可推出xx+ yy=0,從而QQ⊥QQ.        11分

綜上所述,t=b∈(0,b)使得所述命題成立.                12分

考點(diǎn):橢圓的方程與性質(zhì)

點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)橢圓的性質(zhì)來(lái)求解方程,同時(shí)借助與聯(lián)立方程組的思想和韋達(dá)定理來(lái)表示得到參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱(chēng)△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1和C2
x2
16
+
y2
4
=1,判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1(0,c)、F2(0,-c)(c>0),拋物線P:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)與F1重合,過(guò)F2的直線l與拋物線P相切,切點(diǎn)E在第一象限,與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),且
F2B
=λ
AF2

(1)求證:切線l的斜率為定值;
(2)若動(dòng)點(diǎn)T滿(mǎn)足:
ET
=μ(
EF1
+
EF2
),μ∈(0,
1
2
)
,且
ET
OT
的最小值為-
5
4
,求拋物線P的方程;
(3)當(dāng)λ∈[2,4]時(shí),求橢圓離心率e的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),A(0,b),且
F1A
F2A
=-2過(guò)左焦點(diǎn)F1作直線l交橢圓于P1、P2兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l的傾斜角a∈[
π
3
,
3
],直線OP1,OP2與直線x=-
4
3
3
分別交于點(diǎn)S、T,求|ST|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點(diǎn)為F1(1,0)、F2(-1,0),離心率為
2
2
,過(guò)點(diǎn)A(2,0)的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)①求直線l的斜率k的取值范圍;
②在直線l的斜率k不斷變化過(guò)程中,探究∠MF1A和∠NF1F2是否總相等?若相等,請(qǐng)給出證明,若不相等,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•梅州一模)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,直線AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于PQ兩點(diǎn),且
AP
AQ
=0.求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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