【題目】如圖，四棱錐中，平面，，，，.是棱上的一點，.

（1）求證：平面平面；

（2）若二面角的余弦值為.多面體的體積為，求.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由已知求出，在中，結合余弦定理求出，從而可知，由底面可推出，可證明面，進而可證明面面垂直.

（2）以C為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y，z軸，建立空間直角坐標系，設.由（1）知，取平面的法向量為，通過求出，，則可知平面的法向量為，進而由二面角的余弦值為可整理得；分別求出四棱錐的體積，的體積，則結合多面體的體積為，進而可求出的值.

解：（1）四邊形中，，，所以.

在中，，，所以，.

則在中，，，，

所以，解得：.

由，知，即.

因為底面，平面，所以.

因為，是平面上的兩條相交直線，所以面.

因為平面，所以平面平面.

（2）由（1）知：，，兩兩垂直，以C為坐標原點，，，所在直線分別為x軸，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，.

設，則，.

由（1）知，底面，故取平面的法向量為.

又，，

設平面的法向量為，則，即，

取，，得.

所以，由條件，知：，

整理得：①.四棱錐的體積，

又到面距離，所以的體積，

則多面體的體積為②，

由①，②得：，解得：或.

因為E是棱上的一點，所以.從而，.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）記，當時，恒有，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：對任意，與在上有唯一公共點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年是我國垃圾分類逐步凸顯效果關鍵的一年.在國家高度重視，重拳出擊的前提下，高強度、高頻率的宣傳教育能有效縮短我國生活垃圾分類走入世界前列所需的時間，打好垃圾分類這場“持久戰(zhàn)”，“全民戰(zhàn)”.某市做了一項調(diào)查，在一所城市中學和一所縣城中學隨機各抽取15名學生，對垃圾分類知識進行問答，滿分為100分，他們所得成績?nèi)缦拢?/span>

城市中學學生成績分別為：73 71 83 86 92 70 88 93 73 97 87 88 74 86 85

縣城中學學生成績分別為：60 64 71 91 60 76 72 85 81 72 62 74 73 63 72

（1）根據(jù)上述兩組數(shù)據(jù)在圖中完成兩所中學學生成績的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩所中學學生成績的平均分及分散程度；（不要求計算出具體值，給出結論即可）

（2）從城市中學成績在80分以上的學生中抽取4名，記這4名學生的成績在90分以上的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直棱柱中，底面是菱形，，點F，Q是棱，的中點，，是棱，上的點，且．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】超級細菌是一種耐藥性細菌，產(chǎn)生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.

（1）運用概率統(tǒng)計的知識，若，試求P關于k的函數(shù)關系式；

（2）若P與抗生素計量相關，其中，，…，（）是不同的正實數(shù)，滿足，對任意的（），都有.

（i）證明：為等比數(shù)列；

（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)期望值比逐份檢驗的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.

參考數(shù)據(jù)：，，，，，

，，，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】今年，新型冠狀病毒來勢兇猛，老百姓一時間“談毒色變”，近來，有關喝白酒可以預防病毒的說法一直在民間流傳，更有人拿出“醫(yī)”字的繁體字“醫(yī)”進行解讀為：醫(yī)治瘟疫要喝酒，為了調(diào)查喝白酒是否有助于預防病毒，我們調(diào)查了1000人的喝酒生活習慣與最終是否得病進行了統(tǒng)計，表格如下：

每周喝酒量（兩）

人數(shù)

100

300

450

100

規(guī)定：①每周喝酒量達到4兩的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；

②每周喝酒量達到8兩的叫有酒癮的人.

（1）求值，從每周喝酒量達到6兩的人中按照分層抽樣選出6人，再從這6人中選出2人，求這2人中無有酒癮的人的概率；

（2）請通過上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫完下面的列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為是否得病與是否常喝酒有關？并對民間流傳的說法做出你的判斷.

常喝酒

不常喝酒

合計

得病

不得病

250

650

合計

參考公式：，其中

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，正確的是（ ）

A.若輸入a，b，c的值依次為1，2，4，則輸出的值為5

B.若輸入a，b，c的值依次為2，3，5，則輸出的值為7

C.若輸入a，b，c的值依次為3，4，5，則輸出的值為15

D.若輸入a，b，c的值依次為2，3，4，則輸出的值為10

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某人經(jīng)營淡水池塘養(yǎng)草魚，根據(jù)過去期的養(yǎng)殖檔案，該池塘的養(yǎng)殖重量（百斤）都在百斤以上，其中不足百斤的有期，不低于百斤且不超過百斤的有期，超過百斤的有期．根據(jù)統(tǒng)計，該池塘的草魚重量的增加量（百斤）與使用某種餌料的質(zhì)量（百斤）之間的關系如圖所示．

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與具有線性相關關系，請建立關于的回歸方程；如果此人設想使用某種餌料百斤時，草魚重量的增加量須多于百斤，請根據(jù)回歸方程計算，確定此方案是否可行？并說明理由．

（2）養(yǎng)魚的池塘對水質(zhì)含氧量與新鮮度要求較高，某商家為該養(yǎng)殖戶提供收費服務，即提供不超過臺增氧沖水機，每期養(yǎng)殖使用的沖水機運行臺數(shù)與魚塘的魚重量有如下關系：

魚的重量（單位：百斤）

沖水機只需運行臺數(shù)

若某臺增氧沖水機運行，則商家每期可獲利千元；若某臺沖水機未運行，則商家每期虧損千元．視頻率為概率，商家欲使每期沖水機總利潤的均值達到最大，應提供幾臺增氧沖水機？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（）.

（Ⅰ）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）設，若，若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

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