Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）記，當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：對(duì)任意，與在上有唯一公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，恒有，等價(jià)于在上恒成立，只需求得在上的最大值，然后建立不等式求的取值范圍即可；

（Ⅱ）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明在上具有單調(diào)性，先證在上單調(diào)遞增，令（），然后利用零點(diǎn)存在定理證有解即可．

（Ⅰ），

則，

則，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

在上單調(diào)遞增，

，

又在上恒成立，

，

解得；

（Ⅱ）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明（）單調(diào)，而，

，

令，

，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故，

在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增，

令（），

因?yàn)?/span>，，

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，存在零點(diǎn)，即對(duì)任意，與在上至少有一個(gè)公共點(diǎn)，

再由在上單調(diào)遞增，得對(duì)任意，與在上至多有一個(gè)公共點(diǎn)，

綜上，對(duì)任意，與在上至少有一個(gè)公共點(diǎn)．