Question

如圖，圓F：和拋物線，過F的直線與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點，求的值是
A．   1     B.   2    C.   3     D. 無法確定

Answer 1

A

可分兩類討論，若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個點的坐標，從而|AB||CD|=1．
若直線的斜率存在，設為直線方程為y=k（x-1），不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過AB分別作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義，|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，把直線方程與拋物線方程聯立，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用韋達定理及|AB|=|AF|-|BF|=x₁，|CD|=|DF|-|CF|=x₂，可求|AB||CD|的值．
解：若直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，代入拋物線方程和圓的方程，可直接得到ABCD四個點的坐標為（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），所以|AB|=1，|CD|=1，從而|AB||CD|=1．
若直線的斜率存在，設為k，因為直線過拋物線的焦點（1，0），則直線方程為y=k（x-1），
不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過AB分別作拋物線準線的垂線，由拋物線的定義，|AF|=x₁+1，|DF|=x₂+1，
把直線方程與拋物線方程聯立，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由韋達定理有 x₁x₂=1
而拋物線的焦點F同時是已知圓的圓心，所以|BF|=|CF|=R=1
從而有|AB|=|AF|-|BF|=x₁，|CD|=|DF|-|CF|=x₂．
所以|AB||CD|=x₁x₂=1
故選A．
本題考查圓與拋物線的綜合，考查分類討論的數學思想，考查拋物線的定義，綜合性強．