Question

【題目】已知，如圖，拋物線的方程為，直線的方程為，直線交拋物線于， 兩點，點為線段中點，直線， 分別與拋物線切于點， ．

（）求：線段的長．

（）直線平行于拋物線的對稱軸．

（）作直線直線，分別交拋物線和兩條已知切線， 于點， ， ， ．

求證： ．

Answer 1

【答案】（） （）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）將直線與拋物線聯立消去，設， ，通過韋達定理求出， 的值，代入弦長公式得答案；（2）由（1）可求出，再求出直線與的切線方程，聯系方程組，求出點的坐標，比較與的橫坐標即可；（3）由直線∥直線l，可設直線方程為，與直線交于一點，由為中點，可得為中點，將直線與拋物線聯立消去，設， ，通過韋達定理求出的值，再根據即可求得.

試題解析：（）直線與拋物線相交于， 兩點，

，整理得，

∴，

，

∴， ，

∴

．

（）∵，

設過點的切線方程為，

切點，

∴，有且僅有一根，

整理得

直線的方程為，

同理直線的方程為，

兩者聯立，解出交點的縱坐標、橫坐標，

，

，

∴點與點的橫坐標相同，

即直線平行于軸，

即直線平行于拋物線的對稱軸．

（3）由題意可設直線方程為，且與直線交于一點

，整理可得

∴

∴

∵直線∥直線l，且為中點

∴為中點，即

∴，

∴，

∵，

∴

∴