【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直.

注：為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求證：當時，.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先利用切線的斜率建立方程，求出；利用導數(shù)求得函數(shù)的極值點，極值點介于之間，由此求得的取值范圍；（2）先用分析法，將原不等式等價變形為，利用導數(shù)求出左邊函數(shù)的最小值和右邊函數(shù)的最大值即可證得原不等式成立.

試題解析：

（1） 因為，所以

又據(jù)題意，得，所以，所以

所以，

所以

當時，，為增函數(shù)；

當時，，為減函數(shù).

所以函數(shù)僅當時，取得極值

又函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以，所以.

故實數(shù)的取值范圍是

（2）當時，，即為.

令，則.

再令，則.

又因為，所以.

所以在上是增函數(shù).

又因為.

所以當時，.

所以在區(qū)間上是增函數(shù).

所以當時，，又，故

令，則.

因為，所以.

所以當時，.故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

又，

所以當時，，

所以，即.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最小正周期為.

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上至少含有10個零點，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是（ ）

A. 若l⊥m，mα，則l⊥α

B. 若l⊥α，l∥m，則m⊥α

C. 若l∥α，mα，則l∥m

D. 若l∥α，m∥α，則l∥m

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知， ， ．

（1）當時，試比較與的大小關(guān)系；

（2）猜想與的大小關(guān)系，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列四個關(guān)于數(shù)列命題：

（1）若是等差數(shù)列，則三點、、共線；

（2）若是等比數(shù)列，則、、 ()也是等比數(shù)列；

（3）等比數(shù)列的前n項和為，若對任意的，點均在函數(shù) (， 均為常數(shù))的圖象上，則r的值為.

（4）對于數(shù)列，定義數(shù)列為數(shù)列的“差數(shù)列”，若， 的“差數(shù)列”的通項為，則數(shù)列的前項和

其中正確命題的個數(shù)是 （ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，滿足，且，公比大于1的等比數(shù)列滿足， .

（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項和；

（3）在（2）的條件下，若對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知．

（1）寫出所有與終邊相同的角；

（2）寫出在內(nèi)與終邊相同的角；

（3）若角與終邊相同，則是第幾象限的角？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為,其上下頂點分別為,點.

（1）求橢圓的方程以及離心率；

（2）點的坐標為,過點的任意作直線與橢圓相交于兩點，設直線的斜率依次成等差數(shù)列，探究之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系，若是請給出的關(guān)系式，并證明；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正項數(shù)列為等比數(shù)列，等差數(shù)列的前項和為，且滿足：

.

（1）求數(shù)列，的通項公式；

（2）設，求；

（3）設，問是否存在正整數(shù)，使得.

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