Question

已知a,b是兩個非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,求向量b與a-b的夾角.

Answer 1

活動:教師引導學生利用向量減法的平行四邊形法則,畫出以a,b為鄰邊的A.BCD,若=a,=b,則=a+b,=a-b由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b與所成角是150°.我們還可以利用數(shù)量積的運算,得出向量b與a-b的夾角,為了鞏固數(shù)量積的有關知識,我們采用另外一種角度來思考問題,教師給予必要的點撥和指導,即由cos〈b,a.-b〉=作為切入點,進行求解.

解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a.|,∴b²=(a+b)².

∴|b|²=|a|²+2a·b+|b|².

∴a·b=-|b|².

而b·(a-b)=b·a-b²=-|b|²-|b|²=-|b|²,①

由(a-b)²=a²-2a·b+b²=|b|²-2×(-)|b|²+|b|²=3|b|²,

而|a-b|²=(a-b)²=3|b|²,

∴|a-b|=3|b|.②

∵cos〈b,a.-b〉=,

代入①②,得cos〈b,a-b〉=-.

又∵〈b,a-b〉∈［0,π］,∴〈b,a-b〉=.

點評:本題考查的是利用平面向量的數(shù)量積解決有關夾角問題,解完后教師及時引導學生對本解法進行反思、總結(jié)、體會.