【題目】已知函數(shù).

1)討論的奇偶性;

2)當時,求的值域;

3)若對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1)當時,為奇函數(shù),當時,為非奇非偶函數(shù);(2;(3.

【解析】

1)當a0時,利用定義判斷fx)為奇函數(shù);當a≠0時,利用特值判斷fx)為非奇非偶函數(shù);

2)將a4代入,分類討論fx)的取值范圍,最后綜合討論結(jié)果,可得答案;

3)去絕對值,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值即可

1)當a0時,fx)為奇函數(shù);當a≠0時,fx)為非奇非偶函數(shù),理由如下:

a0時,函數(shù)f(﹣x)=﹣x |x|=﹣fx),此時,fx)為奇函數(shù).

a≠0時,fa)=﹣a,f(﹣a)=﹣2a|a|a,faf(﹣a),faf(﹣a),

此時fx)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

2)當a4時,函數(shù)

1≤x≤4時,fx)=4xx24[40],

5≥x4時,fx)=x2-4x-4[41],

綜上,當a4時,求fx)的值域為[41],

3)對任意的x[3,5],f(x)≥0恒成立轉(zhuǎn)化為|x-a|≥x[3,5]上恒成立.

a≤0,顯然不等式恒成立.

a>0,|x-a|≥可化為x-ax-a≤-,

x-aa=x+1+-2,

g(x)=x+1+-2,g(x)x[3,5]上單調(diào)遞增,所以g(x)≥4+-2=,a;

x-a≤-a=x-1++2,

h(x)=x-1++2,h(x)x[3,5]上單調(diào)遞增,所以h(x)≤4++2=,a.

綜上,實數(shù)a的取值范圍為.

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