Question

【題目】已知離心率為 的橢圓 =1（a＞b＞0）的一個焦點為F，過F且與x軸垂直的直線與橢圓交于A、B兩點，|AB|= ．
（1）求此橢圓的方程；
（2）已知直線y=kx+2與橢圓交于C、D兩點，若以線段CD為直徑的圓過點E（﹣1，0），求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設焦距為2c，

∵e= = ，a2=b2+c2，

∴ = ；

∵|AB|= ，

∴2 = ，

解得，b=1，a= ；

故橢圓的方程為 +y2=1；

（2）解：將y=kx+2代入橢圓方程，

化簡可得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

由直線與橢圓有兩個交點知，

△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0，

解得，k2＞1；

設C（x1，y1），D（x2，y2）；

則x1+x2=﹣ ，x1x2= ；

若以線段CD為直徑的圓過點E（﹣1，0），

則 =0，

即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，

則（x1+1）（x2+1）+y1y2

=（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5

=（k2+1） ﹣（2k+1） +5=0，

解得，k= ，滿足k2＞1；

故k= ．

【解析】（1）設焦距為2c，結合e= = ，從而求橢圓的方程；（2）聯(lián)立方程化簡可得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2）；從而可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ；從而由平面向量化簡可得（k2+1） ﹣（2k+1） +5=0，從而解得．