【題目】已知函數(shù)為常數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象在點處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點,求實數(shù)的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

首先求得切線方程,然后將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有兩個交點的問題,最后分類參數(shù),結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)a的取值范圍.

,,得,

在點處的切線方程為,①

函數(shù),

由①②聯(lián)立方程組可得:,其中,

化簡得:,③

切線與該函數(shù)的圖象在點有一個交點,

只需要滿足③在當(dāng)時有兩個不相同的交點,

很明顯不是函數(shù)的零點,

整理方程可得:,

問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與平移之后的對勾函數(shù)有兩個不同的交點,

繪制函數(shù)的圖像如圖所示,

結(jié)合均值不等式的結(jié)論可知,當(dāng)時,

當(dāng)時,,

且當(dāng)時,,

結(jié)合函數(shù)圖像可知,實數(shù)a的取值范圍是:.

故選:C.

練習(xí)冊系列答案
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C. lnx≥x﹣1(x>0)D. lnx≤x﹣1(x>0)

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A. B. C. D.

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A. B. C. D.

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