已知橢圓具有性質：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數(shù)的積．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．
分析：涉及中點弦問題，可使用點差法解決，設A（x1，y1）、B（x2，y2），中點為A（m，n），代入雙曲線方程作差即可得直線斜率與中點原點連線斜率之間的關系．
解答：解：雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1具有類似于橢圓的性質：若A是雙曲線C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數(shù)的積．
證明：設弦的兩個端點是M（x1，y1），N（x2，y2），的中點為A（m，n）
則有：
x12
a2
-
y12
b2
=1，
x22
a2
-
y22
b2
=1，兩式相減得：
x22-x12
a2
-
y22-y12
b2
=0⇒
(x2+x1)(x2-x1)
a2
-
(y2+y1)(y2-y1)
b2
=0
而x2+x1=2m，y2+y1=2n，kMN=
y2-y1
x2-x1
，
代入上式得：kMN=
m
n
•
b2
a2
，(
b2
a2
為常數(shù))，得證．
點評：本題考查了類比推理、直線與雙曲線的位置關系，特別是當直線與曲線相交并且與弦的中點有關時，可以使用聯(lián)立方程組的辦法，也可采用點差法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•南寧二模）設F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．設對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質（不必給出證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關的定值-
b2
a2
．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）寫出類似的性質，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的類似性質，并加以證明．

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