Question

（2010•南寧二模）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q（0，

1

2

），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為K_PM、K_PN時(shí)，那么K_PM與K_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．設(shè)對(duì)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)（不必給出證明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，利用橢圓的定義，求出a，b，c 即可得到橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入（Ⅰ）中所得橢圓方程，利用Q（0，

1

2

），求|PQ|的表達(dá)式，結(jié)合y的范圍即可求出y的最大值；
（Ⅲ）類(lèi)似橢圓的定義，直接把橢圓換為雙曲線即可得到性質(zhì)．

解答：解：（Ⅰ）橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，
得2a=4，即a=2，
又橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

），因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b=

3

，所以c=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1，F(xiàn)₁、F₂兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0）．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)設(shè)（x，y），
則

x2

4

+

y2

3

=1，∴x2=4-

4

3

y2，Q（0，

1

2

），
|PQ|2=x2+(y-

1

2

)2=-

1

3

y2-y+

17

4

=-

1

3

(y+

3

2

)2+5，
因?yàn)?span id="vjwmvs9" class="MathJye">-

3

≤y≤

3

，
∴當(dāng)y=-

3

2

時(shí)，|PQ|的最大值=

5

；
（Ⅲ）類(lèi)似性質(zhì)，若M、N是雙曲線雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為K_PM、K_PN時(shí)，那么K_PM與K_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，兩點(diǎn)間的距離公式最值的求法，考查計(jì)算能力轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．