Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=-f（x），且在[-2，0]上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f（x）的判斷：
（1）f（x）是周期函數(shù)；         
（2）f（x）在[0，2]上是增函數(shù)；
（3）f（x）在[2，4]上是減函數(shù)； 
（4）f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
則正確的命題序號(hào)是

（1），（4）

．

Answer 1

分析：利用偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），式子中的x都被x+2代替可得（1）正確；
根據(jù)f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，利用條件可知（2）（3）不正確；
利用f（-x+2）=-f（-x）=f（x+2），可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，即（4）正確．

解答：解：∵定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x），
∴式子中的x都被x+2代替可得：f（x+4）=-f（x+2）=f（x），利用函數(shù)周期的定義可知：該函數(shù)有周期T=4，即（1）正確；
∵f（x）在[-2，0]上是增函數(shù)，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，∴f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；在[2，4]上是增函數(shù)，∴（2）（3）不正確；
∵f（-x+2）=-f（-x）=f（x+2），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，即（4）正確．
故答案為：（1）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期的定義，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反這一結(jié)論，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．