Question

若定義在[-2013，2013]上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意的x₁，x₂∈[-2013，2013]，有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，且x＞0時(shí)，有f（x）＞2012，f（x）的最大、小值分別為M、N，則M+N的值為（　　）

A．2011

B．2012

C．4022

D．4024

Answer 1

分析：令x₁=x₂=0，可求得f（0）=2012；再利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，f（x₁）+f（-x₁）=4024，從而可求M+N．

解答：解：令x₁=x₂=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）-2012，
∴f（0）=2012，
令-2013≤x₁＜x₂≤2013，且x₂-x₁=t＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）+2012=2012-f（t）
∵t＞0，
∴f（t）＞2012，
∴2012-f（t）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．
令x₂=-x₁∈[-2013，2013]，
則由f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012得：f（0）=f（x₁）+f（-x₁）-2012=2012，
∴f（x₁）+f（-x₁）=4024．
∵函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴M+N=f（-2013）+f（2013）=4024．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，先利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析、推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．