【題目】如圖,且,,且,且,平面,.
(1)若為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),求證:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2).
【解析】
(1)根據(jù)題意,建立空間直角坐標(biāo)系,只需證明與平面的法向量垂直,即可證明平面.
(2)分別求平面的法向量和平面的法向量,即可求得二面角的正弦值.
解:依題意,可以建立以為原點(diǎn),
分別以,,的方向?yàn)?/span>軸,軸,軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),
可得,,,,,
,,,.
(1)證明:依題意,.
設(shè)為平面的法向量,
則,即,
不妨令,可得.
又,可得,
又因?yàn)橹本平面,
所以平面.
(2)依題意,可得,,.
設(shè)為平面的法向量,
則,即,
不妨令,可得.
設(shè)為平面的法向量,
則,即,
不妨令,可得.
因此有,于是.
所以,二面角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P1(2,3)、P2(-4,5)和A(-1,2),則過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1、P2距離相等的直線方程為______.
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【題目】將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C,有如下四個(gè)結(jié)論
①AC⊥BD;
②△ACD是等邊三角形;
③AB與平面BCD成60°的角;
④AB與CD所成的角是60°.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是雙曲線的右支上一點(diǎn),分別為雙曲線的左右焦點(diǎn),則的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為( )
A. B. 2C. D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),證明:;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使的最小值為3,如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了迎接2019年全國文明城市評(píng)比,某市文明辦對(duì)市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:
組別 | |||||||
頻數(shù) | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表),請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;
(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:
(i)得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi);
(ii)每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為:
獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)(單位:元) | 20 | 40 |
概率 |
現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:①;
②若,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠銷售部以箱為單位銷售某種零件,每箱的定價(jià)為元,低于箱按原價(jià)銷售,不低于箱則有以下兩種優(yōu)惠方案:①以箱為基準(zhǔn),每多箱送箱;②通過雙方議價(jià),買方能以優(yōu)惠成交的概率為,以優(yōu)惠成交的概率為.
甲、乙兩單位都要在該廠購買箱這種零件,兩單位都選擇方案②,且各自達(dá)成的成交價(jià)格相互獨(dú)立,求甲單位優(yōu)惠比例不低于乙單位優(yōu)惠比例的概率;
某單位需要這種零件箱,以購買總價(jià)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù),試問該單位選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)射線的極坐標(biāo)方程為,若射線與曲線的交點(diǎn)為,與直線的交點(diǎn)為,求線段的長.
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