已知橢圓C:其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且|OP|=(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn):若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
(1)
(2)在y軸上存在定點(diǎn)M,使得以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn),
點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1)。
【解析】
試題分析:(1)設(shè)
因此所求橢圓的方程為: 5分
(2)動直線l的方程為:,
10分
由假設(shè)得對于任意的恒成立,
即
因此,在y軸上存在定點(diǎn)M,使得以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn),
點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,1)。 13分
(以上答案僅供參考,其它解法酌情賦分)
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
點(diǎn)評:難題,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),注意明確焦點(diǎn)軸和a,b,c的關(guān)系。曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題(2)利用向量垂直,數(shù)量積為0,確定得到m的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:陜西省鐵一中2012屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:044
如圖,已知橢圓C:的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,其上頂點(diǎn)為A.已知△F1AF2是邊長為2的正三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)Q(-4,0)任作一直線l交橢圓C于M,N兩
點(diǎn),記=λ·.若在線段MN上取一點(diǎn)R,使得=-λ·,試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動時,點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動?若在,請求出該定直線的方程,若不在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:安徽省蚌埠市2010年高三第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題(理科) 題型:填空題
已知橢圓C:其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且|OP|=(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。
(1)求橢圓C的方程
(2)過點(diǎn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn):若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年正定中學(xué)高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 題型:解答題
(12分)已知橢圓C:其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且|OP|=(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn):若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:安徽省蚌埠市2010屆高三第三次質(zhì)檢(理) 題型:解答題
已知橢圓C:其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn),且|OP|=(O為坐標(biāo)原點(diǎn))。
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)l交橢圓于A、B兩點(diǎn),在y軸上是否存在定點(diǎn)M,使以AB為直徑的圓恒過這個點(diǎn):若存在,求出M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。
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