【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,是等邊三角形,是直角三角形,為中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)取的中點(diǎn),根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得,根據(jù)矩形性質(zhì)得,最好根據(jù)線面垂直判定定理與性質(zhì)定理得結(jié)果;
(2)法一:建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積求各面方向量 ,再根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系求結(jié)果;法二:取的中點(diǎn),證明為二面角的平面角,再根據(jù)解三角形得結(jié)果.
(1)取的中點(diǎn),連接,
在等邊三角形中,;
在矩形中,,則.
∵,∴平面.
∵平面,∴.
(2)法一:設(shè),則,
∵且點(diǎn)為的中點(diǎn),(三線合一)
∴為等腰直角三角形且.
∵,∴.
∴兩兩垂直
以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為的,由得
令得.
(注:也可證明為平面的一個(gè)法向量)
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得
令得.
.
由圖知,二面角為鈍角,則二面角的余弦值為.
(2)法二:
設(shè),則,
∵且點(diǎn)為的中點(diǎn),(三線合一)
∴為等腰直角三角形,∴,
∴為等腰三角形,
取的中點(diǎn),連接,∵,∴.
在等邊三角形中,連接,則,.
則為二面角的平面角.
連接,在中,由余弦定理,.
則二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某人打算做一個(gè)正四棱錐形的金字塔模型,先用木料搭邊框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一條棱和邊都相等.
(1)求證:直線AC垂直于直線SD;
(2)若搭邊框共使用木料24米,則需要多少立方米的填充材料才能將整個(gè)金字塔內(nèi)部填滿?
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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離的比值為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡為曲線..
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),過點(diǎn)作,垂足為,過點(diǎn)作,垂足為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列中存在三項(xiàng),按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列,則稱為“等比源數(shù)列”。
(1)在無窮數(shù)列中,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的結(jié)論下,試判斷數(shù)列是否為“等比源數(shù)列”,并證明你的結(jié)論;
(3)已知無窮數(shù)列為等差數(shù)列,且,(),求證:數(shù)列為“等比源數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為,對(duì)一切,點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.
(1)求,歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(不必證明);
(2)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為,,, ;,,,;,…,分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為,求的值;
(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積,若不等式對(duì)一切都成立,其中,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓:的中心為,一個(gè)方向向量為的直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)
(1)若且點(diǎn)在第二象限,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若經(jīng)過的直線與垂直,求證:點(diǎn)到直線的距離;
(3)若點(diǎn)、在橢圓上,記直線的斜率為,且為直線的一個(gè)法向量,且求的值.
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【題目】某企業(yè)在“精準(zhǔn)扶貧”行動(dòng)中,決定幫助一貧困山區(qū)將水果運(yùn)出銷售.現(xiàn)有8輛甲型車和4輛乙型車,甲型車每次最多能運(yùn)6噸且每天能運(yùn)4次,乙型車每次最多能運(yùn)10噸且每天能運(yùn)3次,甲型車每天費(fèi)用320元,乙型車每天費(fèi)用504元.若需要一天內(nèi)把180噸水果運(yùn)輸?shù)交疖囌荆瑒t通過合理調(diào)配車輛運(yùn)送這批水果的費(fèi)用最少為______元.
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【題目】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、,P為該雙曲線上一點(diǎn),滿足,P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為d,且,則________.
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【題目】自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源,為了持續(xù)利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響.用表示某魚群在第年年初的總量且.不考慮其他因素,設(shè)在第年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與成正比,死亡量與成正比,這些比例系數(shù)依次為正常數(shù),,
(1)求與的關(guān)系式
(2)若每年年初魚群的總量保持不變,求,,,所應(yīng)滿足的條件
(3)設(shè),,為保證對(duì)任意,都有,則捕撈強(qiáng)度的最大允許值是多少?并說明理由.
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