Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）若，對(duì)定義域內(nèi)任意x,均有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

（Ⅲ）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先確定定義域，可通過(guò)單調(diào)性的定義，或求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，由于，含有對(duì)數(shù)函數(shù)，可通過(guò)求導(dǎo)來(lái)確定單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由此令，，解出就能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，對(duì)定義域內(nèi)任意,均有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍，而，對(duì)定義域內(nèi)任意,均有恒成立，屬于恒成立問(wèn)題，解這一類題，常常采用含有參數(shù)的放到不等式的一邊，不含參數(shù)（即含）的放到不等式的另一邊，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，但此題用此法比較麻煩，可考慮求其最小值，讓最小值大于等于零即可，因此對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定最小值，從而求出的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，這個(gè)不等式等價(jià)于，即，由此對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立．

試題解析：（Ⅰ）定義域?yàn)椋?，+∞），，，所以在（4分）

（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，，當(dāng)時(shí)，　不可能成立，綜上；（9分）

（Ⅲ）令，相加得到

得證。（14分）

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)與不等式．