Question

本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分．
已知a為實數(shù)，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）求證：對于任意實數(shù)a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當f（x）是奇函數(shù)時，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）總有實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用求導數(shù)的公式和求導法則，可得f（x）的導數(shù)為f'（x）=

2x+1ln2

(2x+1)2

，所以在（-∞，+∞）上f'（x）恒為正數(shù)，從而得到對于任意實數(shù)a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）定義在R上的奇函數(shù)f（x）必有f（0）=0解得a=1，從而得到函數(shù)的表達式為f(x)=

1-2x

2x+1

．接下來求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)為：f-1(x)=log2

1+x

1-x

，將方程f^-1（x）=log₂（x+t）變形為

1+x

1-x

=x+t，最后利用基本不等式求分式函數(shù)的最值，即可得到實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)
∴f（x）的導數(shù)為f'（x）=-

-2×2xln2

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0在（-∞，+∞）上恒成立
∴對于任意實數(shù)a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）因為f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f(0)=a-

2

20+1

=0，可得a=1．
∴f(x)=1-

2

2x+1

=

1-2x

2x+1

，
令y=

1-2x

2x+1

，可得2^x=

1+y

1-y

，x=log₂

1+y

1-y

，（-1＜y＜1）
∴函數(shù)f（x）的反函數(shù)為：f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log2

1+x

1-x

=log2(x+t)得

1+x

1-x

=x+t，即-1+

2

1-x

=x+t，
∴t=(1-x)+

2

1-x

-2≥2

2

-2
當且僅當1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

時等號成立，
所以，t的取值范圍是[2

2

-2，+∞)．

點評：本題以含有指數(shù)形式的分式函數(shù)為例，求函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)的取值范圍，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、反函數(shù)的求法等知識點，屬于中檔題．