Question

【題目】已知△ABC的頂點A（0，1），AB邊上的中線CD所在的直線方程為2x﹣2y﹣1=0，AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0．
（1）求△ABC的頂點B、C的坐標；
（2）若圓M經(jīng)過不同的三點A、B、P（m，0），且斜率為1的直線與圓M相切于點P，求圓M的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0，所以直線AC的方程為：x=0，

又直線CD的方程為：2x﹣2y﹣1=0，聯(lián)立得 解得 ，所以 ，

設B（b，0），則AB的中點 ，代入方程2x﹣2y﹣1=0，解得b=2，所以B（2，0）；

（2）解：由A（0，1），B（2，0）可得，圓M的弦AB的中垂線方程為4x﹣2y﹣3=0，

注意到BP也是圓M的弦，所以，圓心在直線 上，

設圓心M坐標為 ，

因為圓心M在直線4x﹣2y﹣3=0上，所以2m﹣2n+1=0①，

又因為斜率為1的直線與圓M相切于點P，所以kMP=﹣1，

即 ，整理得m﹣2n﹣2=0②，

由①②解得m=﹣3， ，

所以，圓心 ，半徑 ，

則所求圓方程為 + = ，化簡得x2+y2+x+5y﹣6=0．

【解析】（1）由AC邊上的高BH所在直線的方程為y=0即x軸，得到AC邊所在直線的方程為x=0即y軸，把x=0與2x﹣2y﹣1=0聯(lián)立即可求出C的坐標，因為點B在x軸上，可設B的坐標為（b，0）利用中點坐標公式求出AB的中點D的坐標，把D的坐標代入到中線CD的方程中即可求出b的值，得到B的坐標；（2）根據(jù)A和B的坐標求出線段AB的垂直平分線方程，根據(jù)B和P的坐標求出線段BP的垂直平分線方程，設出圓心M的坐標，代入AB垂直平分線方程得到①，然后根據(jù)斜率為1的方程與圓相切，利用兩直線垂直時斜率乘積為﹣1得到直線MP的斜率為﹣1，根據(jù)M和P的坐標表示出直線MP的斜率讓其等于﹣1得到②，聯(lián)立①②即可求出圓心M的坐標，然后利用兩點間的距離公式求出線段MA的長度即為圓的半徑，根據(jù)所求的圓心M和半徑寫出圓的方程即可．