【題目】如圖所示,在直角梯形中,,,,,,兩點分別在線段,上運動,且.將三角形沿折起,使點到達的位置,且平面平面.
(1)判斷直線與平面的位置關系并證明;
(2)證明:的長度最短時,,分別為和的中點;
(3)當的長度最短時,求平面與平面所成角(銳角)的余弦值.
【答案】(1)與平面平行,證明詳見解析;(2)詳見解析;(3).
【解析】
(1)分別在平面D1AE和平面BCE內,作MG//AE,交D1E于點G, NH//BC,交CE于點H,連接GH,則MG//NH.推導出四邊形MNHG是平行四邊形, 從而MN// GH.由此能求出MN與平面D1 CE平行;
(2) 推導出,從而當時,, 此時M,N分別是A D1和BE的中點;
(3)以E為坐標原點,分別以EA, EC, ED,所在直線為x, y, z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出平面D1MN與平面EMN所成角(銳角)的余弦值.
(1)與平面平行.
證明如下:分別在平面和平面內作交于點,
交于點,
連接,
∵,
∴.
設,
在中,,
則,
∴,
同理可求,
∴,
即四邊形是平行四邊形.
∴.
∵,,
∴平面.
(2)證明:∵平面平面,,
∴,
在中,,,
∴.
當時,.此時、分別是和的中點.
(2)以為坐標原點,分別以、、所在直線為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
由題意知,,,,,,,.
∴,,
∴,,
設是平面的一個法向量,
由可得.取,可得.
設是平面的一個法向量,
由可得.取,可得.
∴,
∴平面與平面所成角(銳角)的余弦值.
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【題目】中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為_________.
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【題目】已知橢圓C:的離心率為,橢圓的左,右焦點分別為F1,F2,點M為橢圓上的一個動點,△MF1F2面積的最大值為,過橢圓外一點(m,0)(m>a)且傾斜角為的直線l交橢圓于C,D兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求m的值.
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【題目】已知空間中兩條直線,所成的角為,為空間中給定的一個定點,直線過點且與直線和直線所成的角都是,則下列選項正確的是( )
A.當時,滿足題意的直線不存在
B.當時,滿足題意的直線有且僅有1條
C.當時,滿足題意的直線有且僅有2條
D.當時,滿足題意的直線有且僅有3條
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【題目】某電子公司新開發(fā)一電子產品,該電子產品的一個系統(tǒng)G有3個電子元件組成,各個電子元件能否正常工作的概率均為,且每個電子元件能否正常工作相互獨立.若系統(tǒng)C中有超過一半的電子元件正常工作,則G可以正常工作,否則就需要維修,且維修所需費用為500元.
(1)求系統(tǒng)不需要維修的概率;
(2)該電子產品共由3個系統(tǒng)G組成,設E為電子產品需要維修的系統(tǒng)所需的費用,求的分布列與期望;
(3)為提高G系統(tǒng)正常工作概率,在系統(tǒng)內增加兩個功能完全一樣的其他品牌的電子元件,每個新元件正常工作的概率均為,且新增元件后有超過一半的電子元件正常工作,則C可以正常工作,問:滿足什么條件時,可以提高整個G系統(tǒng)的正常工作概率?
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【題目】如圖,平面平面,,四邊形為平行四邊形,,為線段的中點,點滿足.
(Ⅰ)求證:直線平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知函數f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數,且曲線y=f(x)在其與y軸的交點處的切線記為l1,曲線y=g(x)在其與x軸的交點處的切線記為l2,且l1∥l2.
(1)求l1,l2之間的距離;
(2)若存在x使不等式成立,求實數m的取值范圍;
(3)對于函數f(x)和g(x)的公共定義域中的任意實數x0,稱|f(x0)-g(x0)|的值為兩函數在x0處的偏差.求證:函數f(x)和g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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