Question

已知曲線y=

1

x

（1）求曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程　　
（2）求曲線過(guò)點(diǎn)P（1，0）處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率，根據(jù)P的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線的方程即可；
（2）設(shè)出曲線過(guò)點(diǎn)P切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到（1）求出的導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率，寫(xiě)出切線的方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程即可得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，分別代入所設(shè)的切線方程即可；

解答：解：（1）∵P（1，1）在曲線曲線y=

1

x

，且y'=-

1

x2

∴在點(diǎn)P（1，1）處的切線的斜率k=y'|_x=1=-1；
∴曲線在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）設(shè)曲線線y=

1

x

，過(guò)點(diǎn)P（1，0）的切線相切于點(diǎn)A（x₀，

1

x0

），
則切線的斜率 k=-

1

x 2 0

，
∴切線方程為y-

1

x0

═-

1

x 2 0

（x-x₀），
∵點(diǎn)P（1，0）在切線上，
∴-

1

x0

═-

1

x 2 0

（1-x₀），
解得x₀=

1

2

故所求的切線方程為4x+y-4=0

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類(lèi)問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”；同時(shí)解決“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．