Question

已知定點R的坐標為（0，-3），點P在x軸上，

PR

⊥

PM

，線段PM與y軸交于點Q，且滿足

QM

=2

PQ

（1）若點P在x軸上運動，求點M的軌跡E；
（2）求軌跡E的傾斜角為

π

4

的切線l₀的方程；
（3）若（2）中切線l₀與y軸交于點G，過G的直線l與軌跡E交于A、B兩點，點D的坐標為（0，1），當∠ADB為鈍角時，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設點M、P、Q的坐標分別為 （x，y）、（x₁，0）、（0，y₂），其中x₁≠0．由向量數(shù)量積的坐標運算列式化簡得x₁²-x₁x-3y=0，根據(jù)

QM

=2

PQ

得x₁=-

x

2

，代入上式并化簡整理，即可得到點M的軌跡E所表示的圖形；
（2）利用導數(shù)求出l₀的斜率為

1

2

x₀，從而得到x₀=2，再代入拋物線方程得切點為 （2，1），根據(jù)直線方程的點斜式列式，化簡即得切線l₀的方程；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直線l的方程并與拋物線方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系列式得

x1+x2=4k x1x2=4

，且△=16k²-16＞0．根據(jù)∠ADB為鈍角可得

DA

•

DB

＜0，將

DA

•

DB

表示成關(guān)于x₁+x₂、x₁x₂和k的式子，化簡整理得到關(guān)于k的二次不等式，解之即可得到直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）設點M的坐標為 （x，y），點P的坐標為 （x₁，0）（x₁≠0），點Q的坐標為（0，y₂），
則

PR

=（-x₁，-3），

PM

=（x-x₁，y），

PQ

=（-x₁，y₂）
∵

PR

⊥

PM

，可得

PR

•

PM

=0，
∴-x₁（x-x₁）-3y=0，即x₁²-x₁x-3y=0．
由

QM

=2

PQ

得

PQ

=

1

2

QM

，
∴將x₁=-

x

2

代入上式，化簡得y=

1

4

x² （x≠0），
由此可得點M的軌跡E是拋物線y=

1

4

x²，除頂點外的圖形；
（2）設切點為 （x₀，y₀），
∵求導數(shù)，得y'=

1

2

x，
∴切線l₀的斜率為

1

2

x₀=tan

π

4

=1，解之得x₀=2，
代入拋物線方程得切點為 （2，1）
∴切線l₀的方程為y-1=x-2，化簡得x-y-1=0；
（3）∵l₀的切線方程為x-y-1=0，∴令x=0，得x=-1，得G的坐標為（0，-1）．
設l的斜率為k，得l的方程為y=kx-1．
由

y=kx-1 y= 1 4 x2

消去y，得x²-4kπ+4=0．…①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩根，
∴

x1+x2=4k x1x2=4

且△=16k²-16＞0，解之得k²＞1，
∵∠ADB為鈍角，∴

DA • DB ＜0 | DA |•| DB |≠-1

．
由

DA

=（x₁，y₁-1），

DB

=（x₂，y₂-1）．
可得：

DA

•

DB

=x₁•x₂+（y₁-1）（y₂-1）＜0，即x₁x₂+（k x₁-2）（kx₂-2）＜0，
∴x₁x₂+k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＜0，化簡得k²-2＞0，解之得k＜-

2

或k＞

2

．

點評：本題求動點的軌跡方程，求曲線的切線并討論直線的夾角為鈍角的問題．著重考查了拋物線的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系、曲線的切線求法和向量的數(shù)量積等知識，屬于中檔題．