已知拋物線C的方程為x2=4y.設(shè)動(dòng)點(diǎn)E(a,-2 ),其中a∈R,過點(diǎn)E分別作拋物線C的兩條切線EA,EB,切點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2).
(1)求證:A,E,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列;
(2)求直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).
分析:(1)通過導(dǎo)數(shù)求出過A,E的切線方程,利用韋達(dá)定理說明A,E,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列;
(2)求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo),推出AB的方程,利用直線系求直線AB經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)∵x
2=4y.∴
y=∴
y′=x,
過點(diǎn)A的拋物線切線方程為:
y==
x
1(x-x
1),因?yàn)榍悬c(diǎn)過E點(diǎn),
∴
-2-=x
1(a-x
1),整理得x
12-2ax
1-8=0,
同理可得x
22-2ax
2-8=0,
x
1,x
2是方程x
2-2ax-8=0的兩個(gè)根,x
1+x
2=2a,x
1•x
2=-8.
A,E,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成等差數(shù)列;
(2)可得AB的中點(diǎn)為(a,
),
KAB==
=
=
,
∴直線AB的方程為
y-(+2) =(x-a),
即
y =x+2∴AB過定點(diǎn)(1,2).
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,直線過定點(diǎn)的問題,考查計(jì)算能力.