Question

若數(shù)列{a_n}滿足a₁=，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，則數(shù)列{a_n}的前60項(xiàng)和為________．

Answer 1

分析：根據(jù)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，算出（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，得到=．用累乘的方法算出當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=，且n=1時(shí)也符合條件．由此可得{a_n}的前n項(xiàng)和為和為S_n的表達(dá)式，從而得到{a_n}的前60項(xiàng)和的值．
解答：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴S_n=n²a_n，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²a_n-1，兩式相減得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，故=，
∴=×××…×=××…××=
結(jié)合a₁=，可得a_n=
當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，故a_n=對(duì)任意n∈N₊成立，
可得a_n==-，
因此，數(shù)列數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=（1-）+（-）+（-）+…+（-）=1-=．
∴{a_n}的前60項(xiàng)和為
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和S_n與a_n的表達(dá)式，求{a_n}的前60項(xiàng)和．著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列前n項(xiàng)和S_n與a_n的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．