設(shè)橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-c,0)與F2(c,0)(c>0),且橢圓上存在點(diǎn)M,使得·=0.

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(2)在直線l:y=x+2上存在一點(diǎn)E,使得?|EF1|+|EF2|取得最小值,求此最小值及此時(shí)橢圓的方程;

(3)在條件(2)下的橢圓方程,是否存在斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,滿足=,且使得過點(diǎn)N(0,-1)、Q的直線,有·=0?若存在,求出k的取值范圍,若不存在,說明理由.

解析:(1)∵|MF1|+|MF2|=2,|MF1|2+|MF2|2=4m,

而|MF1|2+|MF2|2

∴4m≥2(m+1),解得m≥1.

(2)由

得(m+2)x2+4(m+1)x+3(m+1)=0.

Δ=16(m+1)2-12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0.

解得m≥2或m≤-1(舍去),∴m≥2.

此時(shí)|EF1|+|EF2|=2m+1≥2,

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)|EF1|+|EF2|取得最小值2,此時(shí)橢圓方程為+y2=1.

(3)設(shè)兩點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2),中點(diǎn)Q(x,y),

+(y1+y2)(y1-y2)=0,

∴AB中點(diǎn)Q的軌跡為直線

y=-x                                                                                                          ①

在橢圓內(nèi)的部分.

又由·=0,得過點(diǎn)N(0,-1),且斜率為-的直線方程為y=-x-1,          ②

由①②可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,),

∵點(diǎn)Q必在橢圓內(nèi),

<1.解得k2<1,

又k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1).


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1、F2為橢圓y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P在橢圓上,當(dāng)△F1PF2面積為1時(shí),·的值為(    )

A.0                     B.1                C.2                    D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn),P在橢圓上,當(dāng)△F1PF2面積為1時(shí),的值為(   )

A、0  B、1  C、2  D、3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

22.設(shè)橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-c,0)與F2c,0)(c>0),且橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF1與直線PF2垂直.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線,直線PF2L相交于點(diǎn)Q.若=

2-.求直線PF2的方程.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

21.設(shè)橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(-c,0)與F2c,0)(c>0),且橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF1與直線PF2垂直.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(Ⅱ)設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線,直線PF2L相交于點(diǎn)Q.若=2-.求直線PF2的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案