Question

在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)左、右頂點分別為A、B，橢圓C的右焦點為F，
過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為

10

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q（t，m）是直線x=9上的點，直線QA、QB與橢圓C分別交于點M、N，求證：直線MN必過x軸上的一定點，并求出此定點的坐標．

Answer 1

（1）依題意，橢圓過點(2，

5

3

)，
故

4 a2 + 25 9b2 =1 a2-b2=4

，
解得

a2=9 b2=5

．…（3分）
橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．…（4分）
（2）設(shè)Q（9，m），直線QA的方程為y=

m

12

(x+3)，…（5分）
代入橢圓方程，得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），則-3x1=

9m2-720

m2+80

⇒x1=

240-3m2

m2+80

，…（7分）
y1=

m

12

(x1+3)=

m

12

(

240-3m2

m2+80

+3)=

40m

m2+80

，
故點M的坐標為(

240-3m2

m2+80

，

40m

m2+80

)．…（8分）
同理，直線QB的方程為y=

m

6

(x-3)，
代入橢圓方程，得（20+m²）x²-6x+9m²-180=0，
設(shè)N（x₂，y₂），
則3x2=

9m2-180

m2+20

⇒x2=

3m2-60

m2+20

，
y2=

m

6

(x2-3)=

m

6

(

3m2-60

m2+20

-3)=-

20m

m2+20

．
得點N的坐標為(

3m2-60

m2+20

，-

20m

m2+20

)．…（10分）
①若

240-3m2

m2+80

=

3m2-60

m2+20

⇒m2=40時，
直線MN的方程為x=1，與x軸交于（1，0）點；
②若m²≠40，直線MN的方程為y+

20m

m2+20

=

10m

40-m2

(x-

3m2-60

m2+20

)，
令y=0，解得x=1．
綜上所述，直線MN必過x軸上的定點（1，0）．…（12分）