已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，且橢圓Γ的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得OA⊥OB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在，求出l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．
（Ⅰ）設(shè)F（c，0），
∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且橢圓Γ的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，∴c=1，
又e=
c
a
=
2
2
，得a=
2
，于是有b2=a2-c2=1．
故橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
2
+y2=1；
（2）假設(shè)存在直線l滿足題意．
①當(dāng)直線l為x=-1時(shí)，A(-1，
2
2
)，B(-1，-
2
2
)，
OA
•
OB
=(-1，
2
2
)•(-1，-
2
2
)=1-
1
2
≠0，此時(shí)OA⊥OB不成立，與已知矛盾，舍去．
②設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入
x2
2
+y2=1，消去y得，（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-
4k2
2k2+1
，x1x2=
2k2-2
2k2+1
，
∴
OA
•
OB
=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2
=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)
2k2-2
2k2+1
+k2
-4k2
2k2+1
+k2=
k2-2
2k2+1
=0⇒k=±
2

∴直線l的方程為y=±
2
(x+1)，
即
2
x-y+
2
=0或
2
x+y+
2
=0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知兩點(diǎn)M（2，0）、N（-2，0），平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足由|
MN
|•|
MP
|+
MN
•
MP
=0
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）是否存在實(shí)數(shù)m使直線x+my-4=0（m∈R）與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問(wèn)：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知點(diǎn)P（2，1），若拋物線y2=4x的一條弦AB恰好是以P為中點(diǎn)，則弦AB所在直線方程是______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P為雙曲線與圓x2+y2=a2+b2的一個(gè)交點(diǎn)，且滿足|PF1|=2|PF2|，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=±x，F(xiàn)2到漸近線的距離是
2
，過(guò)F2的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓與y軸相切，求線段AB的長(zhǎng)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1兩漸近線為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又設(shè)l與l2交于點(diǎn)P，l與C兩交點(diǎn)自上而下依次為A、B；
（1）當(dāng)l1與l2夾角為
π
3
，雙曲線焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若
FA
=λ
AP
，求λ的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點(diǎn)（1，
3
2
）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△AF2B的面積為
12
2
7
，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A（-6，0），B（6，0）連線的斜率之積為-
1
3
，P點(diǎn)軌跡為C，
（1）求曲線C的方程；
（2）直線l過(guò)M（-2，2）與C交于E，G兩點(diǎn)，且線段EG中點(diǎn)是M，求l方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=12x，點(diǎn)M（-1，0），過(guò)M的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于2，求直線l的斜率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′，求證：直線A′B過(guò)定點(diǎn)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案