Question

【題目】設(shè)函數(shù)， ，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)。

(1)求函數(shù)在區(qū)間上最大值；

(2)設(shè)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)設(shè)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值。

Answer 1

【答案】(1) 10(2) (3)

【解析】試題分析：因?yàn)?/span>關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以很容易求最值（2）可化為，

化為，令，則, 求最小值即得解(3) 由題意得： ，

所以

故，即為的對(duì)稱(chēng)軸，因?yàn)?/span>有唯一的零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)只能為，因?yàn)?/span>有唯一的零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)只能為，即，解得，對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)，函數(shù)是上的增函數(shù)，

而，所以，函數(shù)只有唯一的零點(diǎn)，滿足條件.

試題解析：

(1)因?yàn)?/span>關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以

故

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，所以當(dāng)時(shí)， 。

所以在區(qū)間上的最大值為10

(2) 可化為，

化為，令，則,

因故，記，因?yàn)?/span>，故，

所以的取值范圍是

(3)由題意得： ，

所以

故，即為的對(duì)稱(chēng)軸，

因?yàn)?/span>有唯一的零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)只能為，

即，解得。

當(dāng)時(shí)， ，

令，則，

從而

，

即函數(shù)是上的增函數(shù)，

而，所以，函數(shù)只有唯一的零點(diǎn)，滿足條件。

故實(shí)數(shù)的值為。