Question

【題目】已知函數，.

（1）討論的單調性；

（2）設函數，若有兩個零點.

（i）求的取值范圍；

（ii）證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（i）；（ii）證明見解析.

【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；

（2）（i）由（1）知，且在處取得極大值，當時，， 當時，，所以只需，構造函數解不等式即可；（ii）構造函數，，利用導數結合的單調性證明即可.

（1），

①當時，，；

∴在上單調遞減，在上單調遞增；

②當時，，∴在上單調遞增；

③當時，，或，

，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；

④當時，，或，

，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；

（2），

（i）若，則恒成立，在上遞增，所以至多一個零點，與已知不符合，故

當時，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

所以在處取得極大值，為

當時，， 當時，

∵有兩個零點，所以只需極大值，即

設，

則，所以在上單調遞減

又，所以使得的.

（ii）結合（i）的分析，不妨設，

設，，

所以

當時，，∴在上單調遞增.

∵，且，∴

又，∴，

由，可知與均屬于，

又在上單調遞減，

∴由，即.