【題目】已知橢圓 (a>b>0)的離心率為.

(Ⅰ)若原點到直線x+y-b=0的距離為,求橢圓的方程;

(Ⅱ)設過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A,B兩點,對于橢圓上任意一點M,總存在實數(shù)λ、μ,使等式成立,求λ2+μ2的值.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)λ2+μ2=1

【解析】試題分析:(1)由點到直線的距離公式與,可得a,b,c及橢圓方程。(2設A(x1,y1),B(x2,y2),橢圓方程為x2+3y2=3b2,設直線方程為y=x-c,直線與橢圓方程組方程組得到A,B點坐標的韋達定理,由等式,可得M(),AB,M三點坐標代入橢圓方程,及韋達可得λ2+μ2=1.

試題解析:(Ⅰ)∵d=,∴b=2.

又∵e=,∴e2,

∴b2=a2-c2a2=4,得a2=12,b2=4.

∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)∵e=,∵a2=b2+c2,

∴a2=3b2,∴橢圓方程為x2+3y2=3b2,

又直線方程為y=x-c,

聯(lián)立4x2-6cx+3c2-3b2=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2c,x1x2c2

顯然可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對實數(shù)λ,μ,使得等式成立.

設M(x,y),則由,

代入橢圓方程整理得λ2+μ2+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.

又∵=3b2 =3b2,

x1x2+3y1y2=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2c2c2+3c2=0,

∴λ2+μ2=1.

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組數(shù)

分組

人數(shù)(單位:人)

第一組

[20,25)

2

第二組

[25,30)

a

第三組

[30,35)

5

第四組

[35,40)

4

第五組

[40,45)

3

第六組

[45,50]

2

 

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