Question

已知各項均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列 ，滿足，．若存在最小的正整數(shù)，使得，則可定義變換，變換將數(shù)列變?yōu)閿?shù)列．設(shè)，．

  （Ⅰ）若數(shù)列，試寫出數(shù)列；若數(shù)列，試寫出數(shù)列；

  （Ⅱ）證明存在唯一的數(shù)列，經(jīng)過有限次變換，可將數(shù)列變?yōu)閿?shù)列；

  （Ⅲ）若數(shù)列，經(jīng)過有限次變換，可變?yōu)閿?shù)列．設(shè)，，求證，其中表示不超過的最大整數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）若，則；； ；

       ； ．

若，則 ； ； ； ．                                                 ………4分

（Ⅱ）先證存在性，若數(shù)列滿足及，則定義變換，變換將數(shù)列變?yōu)閿?shù)列：．

易知和是互逆變換．                                         ………5分

對于數(shù)列連續(xù)實施變換（一直不能再作變換為止）得

 ，

則必有（若，則還可作變換）．反過來對作有限次變換，即可還原為數(shù)列，因此存在數(shù)列滿足條件．

下用數(shù)學(xué)歸納法證唯一性：當(dāng)是顯然的，假設(shè)唯一性對成立，考慮的情形．

假設(shè)存在兩個數(shù)列及均可經(jīng)過有限次變換，變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260116037459319508_DA.files/image033.png">，這里，

若，則由變換的定義，不能變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260116037459319508_DA.files/image033.png">；

若，則，經(jīng)過一次變換，有

由于，可知（至少3個1）不可能變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260116037459319508_DA.files/image033.png">．

所以，同理令，

，

則，所以，．

因為，

，

故由歸納假設(shè)，有，．

再由與互逆，有

，

，

所以，，從而唯一性得證．                   ………9分

（Ⅲ）顯然，這是由于若對某個，，則由變換的定義可知， 通過變換，不能變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601133749595874/SYS201205260116037459319508_DA.files/image065.png">．由變換的定義可知數(shù)列每經(jīng)過一次變換，的值或者不變，或者減少，由于數(shù)列經(jīng)有限次變換，變?yōu)閿?shù)列時，有，，

所以為整數(shù)，于是，，

所以為除以后所得的余數(shù)，即．………13分

【解析】略