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已知拋物線C1:x2=2y的焦點為F,以F為圓心的圓C2交C1于A,B,交C1的準線于C,D,若四邊形ABCD是矩形,則圓C2的方程為( 。
A、x2+(y-
1
2
)2=3
B、x2+(y-
1
2
)2=4
C、x2+(y-1)2=12
D、x2+(y-1)2=16
分析:依題意知,圓C2的圓心坐標為F(0,
1
2
),且點F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點,利用點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等可求得直線AB的方程為:y=
3
2
,
從而可求得A點坐標,從而可求得圓C2的半徑,于是可得答案.
解答:解:依題意,拋物線C1:x2=2y的焦點為F(0,
1
2
),
∴圓C2的圓心坐標為F(0,
1
2
),
作圖如下:
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∵四邊形ABCD是矩形,且BD為直徑,AC為直徑,F(0,
1
2
)為圓C2的圓心,
∴點F為該矩形的兩條對角線的交點,
∴點F到直線CD的距離與點F到AB的距離相等,又點F到直線CD的距離d=1,
∴直線AB的方程為:y=
3
2
,
∴A(
3
3
2
),
∴圓C2的半徑r=|AF|=
(
3
-0)
2
+(
3
2
-
1
2
)
2
=2,
∴圓C2的方程為:x2+(y-
1
2
)
2
=4,
故選:B.
點評:本題考查拋物線的簡單性質,考查圓的標準方程的確定,分析得到點F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點是關鍵,考查作圖、分析與運算能力,屬于難題.
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x2
a2
+
y2
b2
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AB
CD
=
1
1

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(Ⅱ)過點P(0,-2)的直線交拋物線C1于A,B兩點,設拋物線C1在點A,B處的切線交于點M,
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kPQ
kAQ
+
kPQ
kBQ
是否為常數?若是,求出這個常數;若不是,請說明理由.

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