精英家教網(wǎng)已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M
(Ⅰ)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離;
(Ⅱ)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),若過M,P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB,求直線l的方程.
分析:(I)由題意拋物線C1:x2=y,可以知道其準(zhǔn)線方程為y=-
1
4
,有圓C2:x2+(y-4)2=1的方程可以知道圓心坐標(biāo)為(0,4),所求易得到所求的點(diǎn)到線的距離;
(II)由于已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),所以可以設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),利用過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),也可以設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再設(shè)出過P的圓C2的切線方程,利用交與拋物線C2兩點(diǎn),聯(lián)立兩個(gè)方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系整體得到兩切線的斜率的式子,有已知的MP⊥AB,得到方程進(jìn)而求解.
解答:解:(I)由題意畫出簡圖為:
由于拋物線C1:x2=y準(zhǔn)線方程為:y=-
1
4
,圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心M(0,4),
利用點(diǎn)到直線的距離公式可以得到距離d=4-(-
1
4
)
=
17
4

(II)設(shè)點(diǎn)P(x0,x02),A(x1,x12),B(x2,x22);精英家教網(wǎng)
由題意得:x0≠0,x2≠±1,x1≠x2,
設(shè)過點(diǎn)P的圓c2的切線方程為:y-x02=k(x-x0)即y=kx-kx0+x02
|kx0+4-x02|
1+k2
=1
,即(x02-1)k2+2x0(4-x02)k+(x02-4)2-1=0
設(shè)PA,PB的斜率為k1,k2(k1≠k2),則k1,k2應(yīng)該為上述方程的兩個(gè)根,
k1+k2=
2x0 (x02-4)
x02-1
k1k2=
(x02-4)2-1
x02-1
;
代入①得:x2-kx+kx0-x02=0 則x1,x2應(yīng)為此方程的兩個(gè)根,
故x1=k1-x0,x2=k2-x0
∴kAB=x1+x2=k1+k2-2x0=
2x0(x02-4)
x02-1
-2x0kMP=
x02-4
x0
 
由于MP⊥AB,∴kAB•KMP=-1?x02 =
23
5

 故P(±  
23
5
 ,
23
5
)
直線l的方程為:y=±
3
115
115
x+4
點(diǎn)評:此題重點(diǎn)考查了拋物線即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,還考查了相應(yīng)的曲線性質(zhì)即設(shè)出直線方程,利用根與系數(shù)的思想整體代換,進(jìn)而解出點(diǎn)的坐標(biāo),理應(yīng)直線與圓相切得到要求的直線方程.
練習(xí)冊系列答案
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已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn).設(shè)Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△QMN的重心(中線的交點(diǎn))在拋物線C1上,
(1)求C1和C2的方程.
(2)有哪幾條直線與C1和C2都相切?(求出公切線方程)

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已知拋物線C1x2=4y和圓C2x2+(y-1)2=1,直線l過C1焦點(diǎn),從左到右依次交C1,C2于A,B,C,D四點(diǎn),則
AB
CD
=
1
1

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(2012•臺州一模)已知拋物線C1:x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為p的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3.
(Ⅰ)求拋物線C1的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,-2)的直線交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),設(shè)拋物線C1在點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)M,
(ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(ⅱ)若點(diǎn)Q為(。┲星C2上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線AQ,BQ,PQ的斜率kAQ,kBQ,kPQ均存在時(shí),試判斷
kPQ
kAQ
+
kPQ
kBQ
是否為常數(shù)?若是,求出這個(gè)常數(shù);若不是,請說明理由.

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已知拋物線C1:x2=2y的焦點(diǎn)為F,以F為圓心的圓C2交C1于A,B,交C1的準(zhǔn)線于C,D,若四邊形ABCD是矩形,則圓C2的方程為( 。
A、x2+(y-
1
2
)2=3
B、x2+(y-
1
2
)2=4
C、x2+(y-1)2=12
D、x2+(y-1)2=16

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