Question

（文） 已知函數(shù) f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為（-1，3）時，求實數(shù)a，b的值；
（2）若f（1）=0，當實數(shù)a變化時，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù) f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b，不等式f（x）＞0的解集為（-1，3），根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程之間的辯證關(guān)系，我們可得x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的兩實根，進而由韋達來之不易（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程即可得到實數(shù)a，b的值；
（2）由已知中函數(shù) f（x）=-3x²+（6a-a²）x+b，且f（1）=0，我們可得b=（a-3）²-6，進而根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）故x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的兩實根，
由韋達定理，得

-1+3- a(6-a) 3 -1×3-(- b 3 )

⇒

a-3± 3 b-9

                    …（8分）
（2）由f（1）=0得
b=（a-3）²-6，
∴b∈[-6，+∞）…（14分）

點評：本題考查的知識點二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的應用，其中根據(jù)一元二次不等式解集的端點與二次函數(shù)的零點及一元二次方程的根之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為x=-1、x=3是方程3x²-a（6-a）x-b=0的兩實根，是解答本題的關(guān)鍵．