Question

設函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，（）．

（1）證明：；

（2）當時，比較與的大小，并說明理由；

（3）證明：（）．

Answer 1

【考查目的】本題考查函數(shù)與導數(shù)、數(shù)學歸納法、不等式等基礎知識，考查抽象概括能力、推理論證能、運算求解能力和創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想

解：（1）證明：設，所以…………1分

當時，，當時，，當時，．

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，…2分

因為，所以對任意實數(shù)均有 ．即，

所以………………………………………………………………3分

（2）解：當時，．用數(shù)學歸納法證明如下：

①當時，由（1）知。

②假設當（）時，對任意均有，………………5分

令，，

因為對任意的正實數(shù)，，

由歸納假設知，．………………………………………6分

即在上為增函數(shù)，亦即，

因為，所以．從而對任意，有．

即對任意，有．這就是說，當時，對任意，也有．由①、②知，當時，都有．……………8分

（2）證明1：先證對任意正整數(shù)，．

由（2）知，當時，對任意正整數(shù)，都有．令，得．所以．…………………………………………………………………9分

再證對任意正整數(shù)，

．

要證明上式，只需證明對任意正整數(shù)，不等式成立．

即要證明對任意正整數(shù)，不等式（*）成立……………………10分

以下分別用數(shù)學歸納法和基本不等式法證明不等式（*）：

方法1（數(shù)學歸納法）：

①當時，成立，所以不等式（*）成立．

②假設當（）時，不等式（*）成立，即．……………11分

則．

因為 

所以．………………………………………13分

這說明當時，不等式（*）也成立．由①、②知，對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立．

綜上可知，對任意正整數(shù)，成立  …14分