設(shè)函數(shù)=(為自然對數(shù)的底數(shù)),,記.
(1)為的導(dǎo)函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)若函數(shù)=0有兩個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)在上單調(diào)遞增.(2)實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2)。
【解析】
試題分析:(1),∴,
令,則,
∴在上單調(diào)遞增,即在上單調(diào)遞增.
(2)由(1)知在上單調(diào)遞增,而,
∴有唯一解,
的變化情況如下表所示:
x |
0 |
||
- |
0 |
+ |
|
遞減 |
極小值 |
遞增 |
又∵函數(shù)有兩個零點(diǎn),
∴方程有兩個根,即方程有兩個根
而,,
解得.
所以,若函數(shù)有兩個零點(diǎn),實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2)
考點(diǎn):本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)。
點(diǎn)評:中檔題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間,進(jìn)一步判斷函數(shù)零點(diǎn)情況,提供了解答此類問題的一般方法。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆北京市西城區(qū)高三二模試卷數(shù)學(xué)(文科) 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記曲線在點(diǎn)(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京市西城區(qū)高三二模試卷數(shù)學(xué)(文科) 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記曲線在點(diǎn)(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年河北省高三押題數(shù)學(xué)(理)試題 題型:解答題
設(shè)函數(shù),(為自然對數(shù)的底).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若存在常數(shù)和,使得函數(shù)和對其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)分別滿足和,則稱直線:為函數(shù)和的“隔離直線”.試問:函數(shù)和是否存在“隔離直線”?若存在,求出“隔
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年黑龍江省鶴崗一中高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山西省康杰中學(xué)高三5月第三次模擬(理) 題型:解答題
設(shè)函數(shù)且其中為自然對數(shù)的底數(shù)。
(Ⅰ)求與的關(guān)系;(Ⅱ)若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè),若在上至少存在一點(diǎn),使成立。求實(shí)
數(shù)的取值范圍。
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