Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且最大角為鈍角，則最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為

4

．

Answer 1

分析：先設(shè)△ABC的三邊分別為n-1，n，n+1，由∠C為鈍角⇒cosC＜0，然后根據(jù)余弦定理得出c²=a²+b²-2ab•cosC＞a²+b²，得出n-1）²+n²＜（n+1）²，求出n，當(dāng)n=2時(shí)，不能構(gòu)成三角形，舍去，當(dāng)n=3時(shí)，求出△ABC三邊長(zhǎng)，即可求出最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)．

解答：解：設(shè)△ABC的三邊a，b及c分別為n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是鈍角三角形，不妨設(shè)∠C為鈍角，則有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosC＞（n-1）²+n²，
即（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3，
當(dāng)n=2時(shí)，不能構(gòu)成三角形，舍去，
當(dāng)n=3時(shí)，△ABC三邊長(zhǎng)分別為2，3，4，
綜上，最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為4．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有三角形的邊角關(guān)系，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及余弦定理，靈活運(yùn)用余弦定理得出（n-1）²+n²＜（n+1）²是解本題的關(guān)鍵．