Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（2，0），離心率為

1

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過點(diǎn)（1，0）且斜率為

3

2

的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）設(shè)A₁和A₂是長軸的兩個端點(diǎn)，直線l垂直于A₁A₂的延長線于點(diǎn)D，|OD|=4，P是l上異于點(diǎn)D的任意一點(diǎn)．直線A₁P交橢圓C于M（不同于A₁，A₂），設(shè)λ=

A2M

•

A2P

，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）將點(diǎn)（2，0）代入橢圓C的方程可得

4

a2

=1，解得a，又e=

c

a

=

1

2

，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）過點(diǎn)（1，0）且斜率為

3

2

的直線方程為y=

3

2

（x-1），將直線方程代入橢圓方程得

x2

4

+

(x-1)2

4

=1，化簡可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．
（3）由（1）知，A₁（-2，0），A₂（2，0）．設(shè)M（x₀，y₀）．由于M在橢圓C上，可得

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)．由P，M，A₁三點(diǎn)共線可得P(4，

6y0

x0+2

)．可得λ=

A2M

•

A2P

=2（x₀-2）+

6 y 2 0

x0+2

=

5

2

（2-x₀），由于-2＜x₀＜2，即可得出．

解答： 解：（1）將點(diǎn)（2，0）代入橢圓C的方程可得

4

a2

=1，
解得a=2，
又e=

c

a

=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）過點(diǎn)（1，0）且斜率為

3

2

的直線方程為y=

3

2

（x-1），
設(shè)直線與橢圓C的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入橢圓方程得

x2

4

+

(x-1)2

4

=1，
化為2x²-2x-3=0，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=1，
∴線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

x1+x2

2

=

1

2

，縱坐標(biāo)為

3

2

(

1

2

-1)=-

3

4

，
即所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

， -

3

4

）．
（3）由（1）知，A₁（-2，0），A₂（2，0）．
設(shè)M（x₀，y₀）．
∵M(jìn)在橢圓C上，∴

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)．）
由P，M，A₁三點(diǎn)共線可得P(4，

6y0

x0+2

)．
∴

A2M

=（x₀-2，y₀），

A2P

=(2，

6y0

x0+2

)．
∴

A2M

•

A2P

=2（x₀-2）+

6 y 2 0

x0+2

=

5

2

（2-x₀），
∵-2＜x₀＜2，∴λ=

A2M

•

A2P

∈（0，10）．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．