Question

已知在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，求面SCD與面SAB的法向量以及這兩個(gè)法向量所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面SCD與平面SAB 的法向量

n

，

m

，向量的數(shù)量積解答．

解答： 解：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪蔚乃睦忮FS-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=

1

2

，
則S（0，0，1），D（

1

2

，0，0），C（1，1，0），
所以

DS

=（

1

2

，0，-1），

DC

=（

1

2

，1，0），
平面SCD的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），則

n • DS =0 n • DC =0

，即

1 2 x-z=0 1 2 x+y=0

取z=1，則

n

=（2，-1，1），
由圖可知面SAB的一個(gè)法向量為

m

=（1，0，0），則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

6

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用空間向量解決二面角大小，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，空間想象能力，計(jì)算能力．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬于常規(guī)題目．