Question

　　已知：如圖，長方體中，、分別是棱,上的點，,.
　�。�1） 求異面直線與所成角的余弦值；
　�。�2） 證明平面；
　�。�3） 求二面角的正弦值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Answer 1

 解：
　　法一：
　　如圖所示，以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，
　　設,
　　依題意得,,,
　�。�1）易得,,
　　　　 于是
　　　　 所以異面直線與所成角的余弦值為
　�。�2）已知,
　　　　 ,
　　　　 于是·=0，·=0.
　　　　 因此，,,又
　　　　 所以平面
　�。�3）設平面的法向量，則,即
　　　　 不妨令X=1,可得。
　　　　 由（2）可知，為平面的一個法向量。
　　　　 于是，從而,
　　　　 所以二面角的正弦值為
　　法二：
　�。�1）設AB=1，可得AD=2,AA₁=4,CF=1.CE=
　　　　 連接B₁C,BC₁，設B₁C與BC₁交于點M,易知A₁D∥B₁C，
　　　　 由,可知EF∥BC₁.
　　　　 故是異面直線EF與A₁D所成的角，
　　　　 易知BM=CM=,
　　　　 所以 ,
　　　　 所以異面直線FE與A₁D所成角的余弦值為
　�。�2）連接AC，設AC與DE交點N 因為，
　　　　 所以，從而，
　　　　 又由于,所以，
　　　　 故AC⊥DE,又因為CC₁⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.
　　　　 連接BF，同理可證B₁C⊥平面ABF,從而AF⊥B₁C,
　　　　 所以AF⊥A₁D因為，所以AF⊥平面A₁ED.
　�。�3）連接A₁N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,
　　　　 又NF平面ACF, A₁N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A₁N,
　　　　 故為二面角A₁-ED-F的平面角.
　　　　 易知，所以，
　　　　 又所以，
　　　　 在
　　　　 ,
　　　　 連接A₁C₁,A₁F 在
　　　　 。所以
　　　　 所以二面角A₁-DE-F正弦值為.