(本小題滿分13分)

  已知:如圖,長方體中,、分別是棱,上的點,,.

  (1) 求異面直線所成角的余弦值;

 。2) 證明平面

 。3) 求二面角的正弦值.

                  

 

【答案】

 

(1)

(2)略

(3)

【解析】解:

  法一:

  如圖所示,以點A為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,

  設(shè),

  依題意得,,,

 。1)易得,,

     于是

     所以異面直線所成角的余弦值為

 。2)已知,

     ,

     于是·=0,·=0.

     因此,,,又

     所以平面

 。3)設(shè)平面的法向量,則,即

     不妨令X=1,可得

     由(2)可知,為平面的一個法向量。

     于是,從而,

     所以二面角的正弦值為

  法二:

  (1)設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

     連接B1C,BC1,設(shè)B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C,

     由,可知EF∥BC1.

     故是異面直線EF與A1D所成的角,

     易知BM=CM=,

     所以 ,

     所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為

 。2)連接AC,設(shè)AC與DE交點N 因為,

     所以,從而,

     又由于,所以,

     故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.

     連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,

     所以AF⊥A1D因為,所以AF⊥平面A1ED.

  (3)連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,

     又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,

     故為二面角A1-ED-F的平面角.

     易知,所以,

     又所以,

     在

     ,

     連接A1C1,A1F 在

     。所以

     所以二面角A1-DE-F正弦值為.

 

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(Ⅰ)求證:∥平面;

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(3) 求數(shù)列的前項和

 

 

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