已知命題A:函數(shù)f(x)=x2-4mx+4m2+2在區(qū)間[-1,3]上的最小值等于2,命題B:?x∈R,x+|x-m|>1;命題C:{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2≥1}.
(1)若A,B,C中有且只有一個真命題,試求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若A,B,C中有且只有一個假命題,試求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
分析:根據(jù)二次函數(shù)取最值的條件,我們可以求出命題A為真命題時,參數(shù)m的取值范圍;根據(jù)絕對值函數(shù)的圖象和性質(zhì),我們可以求出命題B為真命題時,參數(shù)m的取值范圍;根據(jù)集合間的包含關(guān)系,我們可以求出命題C為真命題時,參數(shù)m的取值范圍;
(1)分別討論若A真B,C假,B真A,C假和C真,A,B假時參數(shù)m的取值范圍,綜合討論結(jié)果,可得答案;
(2)分別討論若A,C真B假,B,C真A假和A,B真C假時參數(shù)m的取值范圍,綜合討論結(jié)果,可得答案.
解答:解:若命題A:函數(shù)f(x)=x
2-4mx+4m
2+2在區(qū)間[-1,3]上的最小值等于2,為真命題
則-1≤2m≤3
即
≤m≤
…(2分)
若命題B::?x∈R,x+|x-m|>1為真命題
則m>1 …(5分)
若命題C:{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x
2≥1}為真命題
則m>2m+1或1≤m≤2m+1或m≤2m+1≤-1,即m<-1或m≥1或m=-1
即m≥1或m≤-1 …(8分)
(1)若A真B,C假,則
≤m<1 …(9分)
若B真A,C假,則m不存在 …(10分)
若C真,A,B假,則m≤-1 …(11分)
實數(shù)m的取值范圍是m≤-1 或
≤m<1 …(12分)
(2)若A假B,C真,則m>
…(13分)
若B假A,C真,則m=1; …(14分)
若C假A,B真,則M不存在; …(15分)
∴實數(shù)m的取值范圍是m>
或m=1.…(16分)
點評:本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),含絕對值函數(shù)的圖象和性質(zhì)及集合間包含關(guān)系,是集合,函數(shù),簡易邏輯的綜合考查,稍有難度.