【題目】如圖,橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為 ,不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.

(1)求橢圓C的方程;
(2)求△APB面積取最大值時(shí)直線l的方程.

【答案】
(1)解:由題意 ,解得:

∴所求橢圓C的方程為:


(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M

當(dāng)AB⊥x軸時(shí),直線AB的方程為x=0,與不過原點(diǎn)的條件不符,故設(shè)AB的方程為y=kx+m(m≠0)

,消元可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0①

,

∴線段AB的中點(diǎn)M

∵M(jìn)在直線OP上,∴

∴k=﹣

故①變?yōu)?x2﹣3mx+m2﹣3=0,又直線與橢圓相交,

∴△>0,x1+x2=m,

∴|AB|=

P到直線AB的距離d=

∴△APB面積S= (m∈(﹣2 ,0)

令u(m)=(12﹣m2)(m﹣4)2,則

∴m=1﹣ ,u(m)取到最大值

∴m=1﹣ 時(shí),S取到最大值

綜上,所求直線的方程為:


【解析】(1)由題意,根據(jù)離心率為 ,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為 ,建立方程,即可求得橢圓C的方程;(2)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),線段AB的中點(diǎn)為M,當(dāng)AB⊥x軸時(shí),直線AB的方程為x=0,與不過原點(diǎn)的條件不符,故設(shè)AB的方程為y=kx+m(m≠0)由 ,消元再利用韋達(dá)定理求得線段AB的中點(diǎn)M,根據(jù)M在直線OP上,可求|AB|,P到直線AB的距離,即可求得△APB面積,從而問題得解.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】為了了解我市特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r,某調(diào)查機(jī)構(gòu)得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

年份

2014

2015

2016

2017

2018

特色學(xué)校(百個(gè))

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計(jì)算的相關(guān)系數(shù),并說明的線性相關(guān)性強(qiáng)弱(已知:,則認(rèn)為線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為線性相關(guān)性較弱);

(Ⅱ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測我市2019年特色學(xué)校的個(gè)數(shù)(精確到個(gè)).

參考公式: ,,,,

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,側(cè)面底面,若分別為的中點(diǎn).

)求證:平面;

)求證:平面平面

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【題目】設(shè)a∈R,若x>0時(shí)均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,則a=

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【題目】若函數(shù)滿足對任意,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.

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【題目】某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是30/件的商品,在市場試銷中發(fā)現(xiàn),此商品銷售價(jià)元與日銷售量件之間有如下關(guān)系:

x

45

50

y

27

12

1)確定的一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式;

2)若日銷售利潤為P元,根據(jù)(I)中關(guān)系寫出P關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,并指出當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí),才能獲得最大的日銷售利潤?

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【題目】對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖:

分組

頻數(shù)

頻率

24

4

0.1

2

0.05

合計(jì)

1

(1)求出表中,及圖中的值;

(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);

(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.

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【題目】設(shè)橢圓 的左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線AP與BP的斜率之積為 ,求橢圓的離心率;
(2)若|AP|=|OA|,證明直線OP的斜率k滿足|k|>

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【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中,用如圖所示的三角形,解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后,法國數(shù)學(xué)家布萊士帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個(gè)三角形,近年來,國外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國,所以有些書上稱這是“中國三角形”,如圖.17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”,如圖.在楊輝三角中,相鄰兩行滿足關(guān)系式:,其 中是行數(shù),.請類比上式,在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是__________

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