已知點(diǎn)，是拋物線上相異兩點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點(diǎn)，求的面積的最大值及此時(shí)直線的方程．

（Ⅰ）（Ⅱ）.

解析試題分析：(Ⅰ) 利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放縮和數(shù)列的裂項(xiàng)求和
試題解析：（I）方法一
（I）當(dāng)垂直于軸時(shí)，顯然不符合題意，
所以可設(shè)直線的方程為，代入方程得：

∴       得：                2分
∴直線的方程為 
∵中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴中點(diǎn)的坐標(biāo)為                  4分       
∴的中垂線方程為             
∵的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，得                 6分
∴直線的方程為                                   7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為     8分
因?yàn)橹本�的方程為
∴到直線的距離               10分
由 得，，

                     12分
∴,  設(shè),則，
，，由，得 
在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，有最大值
得：時(shí)，    
直線方程為                                15分
(本題若運(yùn)用基本不等式解決，也同樣給分)
法二：
（Ⅰ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，顯然不符合題意，
當(dāng)不垂直于軸時(shí)，根據(jù)題意設(shè)的中點(diǎn)為，
則                                          2分
由、

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．已知為等腰三角形.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡
方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于兩點(diǎn).
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為A，B，短軸的上端點(diǎn)為M，O為橢圓的中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且·＝1，｜｜＝1．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使得點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：與正半軸、正半軸的交點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，求面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)在軌跡上，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)線段（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線，使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn).
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點(diǎn)到直線的距離等于，且的面積為20，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求的取值范圍；，
(2)若直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求證：直線的斜率互為相反數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．過(guò)該橢圓上任一點(diǎn)作軸，垂足為，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）設(shè)直線（點(diǎn)不同于）與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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