Question

(本小題滿分16分)
橢圓:的左、右頂點(diǎn)分別、，橢圓過點(diǎn)且離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓上異于、兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)作軸，為垂足，延長到點(diǎn)，且，過點(diǎn)作直線軸，連結(jié)并延長交直線于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)記為點(diǎn).
①求點(diǎn)所在曲線的方程；
②試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系， 并證明.

Answer 1

（1）（2）①②直線與圓相切，證明：AQ的方程為 , ,,,
,∴，∴直線QN與圓O相切

試題分析：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)（0，1），所以，又橢圓的離心率得，
即，由得，所以，
故所求橢圓方程為。
（2）①設(shè)，則，設(shè)，∵HP=PQ，∴ 即，將代入得，
所以Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上。
②又A（－2，0），直線AQ的方程為，令，則，
又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，∴，，
∴
，∴，∴直線QN與圓O相切。
點(diǎn)評：最后一問判斷直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量簡化了解題